2009년 12월 16일 영국의 데일리 매일(daily mail)은 “미국의 네바다 주에 있는 ‘블랙 록 사막(Black Rock Desert)’에 세계에서 가장 큰 그림이 만들어졌다.”라고 보도했다. 이 그림은 반지름이 약 2.4km이고 둘레가 무려 15km 이상인 원과 그 원 안에 원을 그려 모두 1,000개의 원으로 구성되어 있다고 한다. 이 그림은 영국 런던에 있는 웸블리 스타디움(Wembley Stadium)의 176배 이상 크며 지상 40,000피트(약 12,000m) 상공에서 봐야 전체를 볼 수 있다고 한다.
세상에서 가장 큰 그림
이 작품은 모래 예술가 짐 데네반(Jim Denevan)이 동료 3명과 함께 황량한 사막에 특징을 주고 싶어 만든 것이라고 하는데, 15일에 걸쳐 완성된 이 그림은 아주 멀리서 봐야 한눈에 알아볼 수 있을 정도의 규모와 매우 특징적인 모양으로 구성되어 있다. 이 작품은 크고 작은 원을 반복적으로 그리는 형식으로 되어 있으며 선을 뚜렷하게 나타내기 위해 모래를 깊게 파는 작업도 함께 진행됐다. 모든 선은 최소 4~5번 이상씩 땅을 파 만든 것으로 알려졌으며 가장 어두운 선은 무려 8미터 이상의 폭과 1미터 정도의 깊이로 팠다고 한다. 그가 만든 작품은 ‘아폴로니안 개스킷(Apollonian Gasket)’이라고 불리는 프랙탈 도형의 일부분이다.
모래 예술가 짐 데네반(Jim Denevan)이 사막에 그린 거대한 크기의 아폴로니안 개스킷
아폴로니안 개스킷 그리기
아폴로니안 개스킷은 세 개의 원을 이용하여 다음과 같은 단계로 만들 수 있다.
1. 반지름의 길이가 같은 원 세 개를 서로 접하게 그린다. 2. 위에서 그린 세 개의 원에 동시에 접하는 두 개의 원(파란색 표시)을 그린다. 그러면 모두 5개의 원을 그리게 된다. 3. 위에서 그려진 5개의 원 중 3개를 택하여 동시에 접하는 원 6개(파란색 표시)를 그린다. 총 11개의 원이 된다. 4. 위의 11개의 원 중 세 개의 원을 택하여 같은 방법으로 원을 그린다. 이와 같은 방법으로 계속하여 원을 그려 나가면
n단계에서는 모두 3n-1+2개의 원이 그려진다.
아폴로니안 개스킷을 그리는 단계
고대 그리스의 위대한 기하학자 아폴로니우스
이 도형의 이름이 왜 아폴로니안 개스킷인지 알아보자. 여기서 아폴로니안(Apollonian)은 ‘아폴로니우스(Appollonius)의’라는 뜻이다. 그러니, 그 뜻을 알려면 먼저 아폴로니우스에 대하여 알아야 하겠다. 아폴로니우스(Appolonius)는 고대 그리스의 수학자인데, 아르키메데스보다 약 25세쯤 연하로 기원전 262년경에 남부 소아시아 지방에 있는 페르가(Perga)에서 태어났다. 아폴로니우스의 일생에 대해서는 알려진 것이 거의 없지만, 그가 뛰어난 천문학자이자 수학자였다는 것과 그의 가장 위대한 업적으로 평가되고 있는 [원추곡선론(Conic Sections)]이라는 책을 남겼다는 것은 분명하다. 이 책에는 오늘날 우리가 사용하는 타원(ellipse)·포물선(parabola)·쌍곡선(hyperbola)이라는 이름이 처음 등장하며 이들의 성질에 대하여 자세히 다루고 있다.
고대 그리스 사람들조차도 ‘위대한 기하학자’라고 부르던 아폴로니우스가 알아낸 원의 성질 가운데 하나가 바로 [단계 2]에서 그린 다섯 개의 원이다. 그는 ‘세 개의 원이 접할 때, 이 세 개의 원에 동시에 접하는 두 개의 원을 그릴 수 있다.’라는 사실을 처음 알아냈다. 그래서 우리가 그리려는 도형이 그의 이름을 딴 아폴로니안 개스킷이다.
아폴로니안 개스킷에 숨어 있는 기하학
아폴로니안 개스킷에는 재미있는 기하학이 숨어 있다. 아폴로니안 개스킷의 중심 부분에 있는 오른쪽 그림과 같은 삼각형 모양을 잘 살펴보자. 이 삼각형의 꼭짓점 A, B, C는 모두 원이 접하여 생긴 점이다. 그리고 세 꼭짓점 근방에는 반지름의 길이가 점점 작아지는 무수히 많은 원이 계속해서 그려져 있으며, 이런 원들은 끝이 없이 계속 그려지게 될 것이다.
더욱이 비유클리드기하학의 관점에서 본다면 오른쪽 그림은 점 A, B, C를 꼭짓점으로 하며 세 각의 크기가 모두 0인 삼각형이 된다. 이런 삼각형은 꼭짓점이 커다란 원 위에 있을 때 그릴 수 있는데, 이런 삼각형을 우리는 ‘이상적인 삼각형(ideal triangle)’이라고 한다. 이와 같은 이상적인 삼각형은 아폴로니안 개스킷에 무수히 많이 들어 있음을 확인할 수 있다.
단순한 원에서 프랙탈과 비유클리드 기하학으로
유클리드기하학의 기본이 되는 단순한 원만을 이용하여 만들어진 아폴로니안 개스킷은 매우 복잡한 수학인 프랙탈과 비유클리드기하학으로 확장된다. 이처럼 단순함으로 복잡함을 표현할 수 있고 반대로 복잡한 것을 단순하게 바꿀 수 있는 수학이야말로 아름답고 공부해 볼만한 가치가 있는 학문이 아닐까?
글 이광연 / 한서대학교 수학과 교수
성균관대학교 수학과를 졸업하고 와이오밍 대학교에서 박사후 과정을 밟았다. 저서로는 [웃기는 수학이지 뭐야], [수학자들의 전쟁], 2008년 문화체육관광부 우수과학도서로 선정된 [수학블로그] 등이 있다.
